1. Set, Function, Image, Inverse Image

“Set theory”

Set $=$ Collection $=$ family.

{definable objects} True/ False.

ex) $A=\{-1,2,4,5\},-1\in A.O\notin A$

ex) $B=\{x\mid P(x)\}$

ex) $C=\{1,2\}$

$P(C)=\{\text{subsets in }C\}$.

Examples.

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$,
$\mathbb{Z}=\{0,1,2,3,4,\dots \}\cup \{-1,-2,-3,\dots \}$,

$\mathbb{Q}=\{\frac{q}{p}\mid p_{1}q\in \mathbb{Z},q\ne 0\}$,
$\mathbb{R}=\{\text{ real }\mathrm{\#}s\}$,
$\mathbb{C}=\{\text{ Complex }\mathrm{\#}s\}$

Exercise. Show that $\sqrt{2}(x^2=2,x>0)$ is not the rational number.

Definition. $X$ be an universal set. Let $A,B\subseteq X$, define

$A\cup B:=\{x\mid x\in A$ or $x\in B\}$.

$A\cap B:=\{x\mid x\in A$ and $x\in B\}$.

$A^C:=\{x\in X\mid x\notin A\}$.

Definition. $A,B\subseteq X$.

$A=B\iff A\subseteq B$ and $B\subseteq A$

$\iff$ If $x\in B$ then $x\in B$, and if $y\in B$, then $y\in A$. 

Proposition. Let A,B,C $\subseteq X$.

(a) $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.

Proof. Need to show (NTS):

$A\cap (B\cup C)\subset (A\cap B)\cup (A\cap C)$

and $(A\cap B)\cup (A\cap C)CA\cap (B\cup C)$

$\iff$ If $x\in A\cap (B\cup C)$

$\iff x\in A$ and $(x\in B$ or $x\in C)$

$\iff (x\in A$ and $x\in B)$ or $(x\in A$ and $x\in C)$

$\iff x\in A\cap B$ or $x\in A\cap C$ 

$\iff x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$

(b) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

(c) $(A\cup B{)}^C=A^C\cap B^C$

(d) $(A\cap B{)}^C=A^C\cup B^C$

Definition. Given a set $A$, define
$P(A):=\{B\subset A\}$, the collection of subsets of $A$, called the power set of $A$.

Exercise. If $A$ has $n$ elements, then show that $P(A)$ has $2^n$ elements. 


“Functions”

Given two sets $A,B$, $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$.

Definition. Given “two sets $A,B$, we call $f:A\to B$ is a function, if we have ” $S_f\subseteq A\times B$ satisfying: for each $a\in A$, there exists $b\in B$ uniquely such that $(a,b)\in S_f$.

We call A the domain, B the codomain.
We call  $Imf=\{b=f(a)\mid a\in A\}$ call the image (range) of f.



Proposition 2. Given $f:A⟶B$ a function, let $A_1{A}_2\subseteq A$.

1. $f(A_1\cup A_2):=\{f\left(x_{}\right)\mid x\in A_1\cup A_2\}=f\left(A_1\right)\cup f\left(A_2\right)$.

2. $f(A_1\cap A_2)\subseteq f\left(A_1\right)\cap f\left(A_2\right)$.
Proof. Exercise.

Definition. Given $f:A\to B$ a function.

Let $B_1\subset B$.
Define $f^{-1}\left(B_1\right):=\{x\in A\mid f(x)\in B_1\}$, called the inverse image of $f$ under $B_1$. 


Proposition 3. Let $f:A\to B$ be a function, $B_1,B_2\subset B$.

(a) $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}\left(B_1\right)\cup f^{-1}\left(B_2\right)$.

(b) $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}\left(B_1\right)\cap f^{-1}\left(B_2\right)$.

(c) $f^{-1}\left(B_1{}^c\right)=f^{-1}{\left(B_1\right)}^c$.

Proof. Exercise.