4. Introduction to real analysis : supremum

Introduction to Real Analysis

N={1,2,3,4,}

Z={1,2,3,4,,0,1,2,3,},

Q={pqp,qZ,q0},

R={QI}, here I=irrational numbers



Least upper bound property (Completeness axiom)


Definition. Let ER. We say E is bounded above (below) if there exists β(α)R such that for each xExβ(xα)

In this case, β is called an upper bound (α is called a lower bound).




We say E is bounded if E is bounded above and below.

Remark. E= is possible.

Ex) A={11nnN}

Show that A has an upper bound and a lower bound (exercise).  


ex) N has a lower bound, but does not hove an upper bound. 

ex) B={rQr>0 and r2<2}

Then B has a lower bound. (α=0).

However, B does not have the maximum element.

To justify, it is enough to show if pB, then there exists qB such the p<q. To do so, take any pB.

Take g=p+2p2p+2>p
Then qQ.  

Claim: q2<2.

2q2=2(p+2p2p+2)2

=2(p2+2p(2p2)p+2+(2p2)2(p+2)2)

=2p22p(2p2)p+2(2p2)2(p+2)2

=(2p2)p+2)22p(2p2)(p+2)(2p2)2(p+2)2
=(p22)(p+2)2+2p(p2)(p+2)(p22)2(p+2)2
=1(p+2)2((1+21)p4+(4+4)p3+(24)p2+(88)p+(84))
=1(p+2)2(42p2)=2(2p2)(p+2)2>0.

Hence qB


Definition. Let ϕER be bounded above We say βR is the least upper bound of E if
(1) β is an upper bound of E.
(2) If α<β, then α is not an upper bound of E.
Denote β=supE called the Supremum of E.

Remark.

(1) If sup E exists then SupE must be unique 

Indeed, let α,β be supremum of E.
Then either α<βα is not an upper bound. It is now esaily deduced that α=β

(2) Suppose ϕER is not bounded above.
 [There exists βR s.t for each xE,xβ]
 For all βR, there exists xβE S.t xβ>β

(3) Let ϕER, not bounded above,
supE=(R).

(4) supϕ=.



(5) Let ϕER be bounded above.
 there exists sup E =βR by definition. 
Then for each ε>0xε is not an upper bound.
Thus by (2), there exists xεE such that βε<xε
Consequently, for each ε>0, there exists xεE sst βε<xεβ. Equivalently, β=supE.

(6) For each nN,(ε=1n>0).

By (5) there exists xnE such that β1n<xnβ.

In particular, this shows that we have “a sequence” ( xn) satisfying limnxn=β
In fact, (6) is equivalent to (5). This is called the Archimedean Property.